Die Macaulay-Duration und die modifizierte Duration werden hauptsächlich zur Berechnung der Duration von Anleihen verwendet. Die Macaulay-Duration berechnet die gewichtete durchschnittliche Zeit, bevor ein Anleihegläubiger die Cashflows der Anleihe erhalten würde. Umgekehrt misst die modifizierte Duration die Preissensitivität einer Anleihe, wenn sich die Rendite bis zur Fälligkeit ändert.
Die Macaulay-Dauer
Die Macaulay-Duration wird berechnet, indem der Zeitraum mit der periodischen Couponzahlung multipliziert und der resultierende Wert durch 1 plus die periodische Rendite dividiert wird, die bis zur Fälligkeit erhöht wurde. Als nächstes wird der Wert für jede Periode berechnet und addiert. Der resultierende Wert wird dann zur Gesamtzahl der Perioden multipliziert mit dem Nennwert geteilt durch 1 plus der periodischen Rendite auf die Gesamtzahl der Perioden addiert. Dann wird der Wert durch den aktuellen Anleihekurs geteilt.
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie Macaulay Duration = Aktueller Anleihekurs (∑t = 1n (1 + y) tt ∗C + (1 + y) nn ∗M) wobei: C = periodische Kuponzahlung = periodische RenditeM = Fälligkeitswert der Anleihe = Laufzeit der Anleihe in Perioden
Der Preis einer Anleihe wird berechnet, indem der Cashflow mit 1 minus 1 geteilt durch 1 plus die Rendite bis zur Endfälligkeit multipliziert und auf die Anzahl der Perioden geteilt durch die erforderliche Rendite erhöht wird. Der resultierende Wert wird zum Nennwert oder Fälligkeitswert der Anleihe geteilt durch 1 zuzüglich der auf die Gesamtzahl der Perioden erhöhten Rendite bis zur Fälligkeit addiert.
Angenommen, die Macaulay-Duration einer fünfjährigen Anleihe mit einem Laufzeitwert von 5.000 USD und einem Kupon von 6% beträgt 4, 87 Jahre ((1 * 60) / (1 + 0, 06) + (2 * 60) / (1) + 0, 06) 2 + (3 · 60) / (1 + 0, 06) 3 + (4 · 60) / (1 + 0, 06) 4 + (5 · 60) / (1 + 0, 06) 5 + (5 * 5000) / (1 + 0, 06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0, 06) ^ -5) / (0, 06)) + (5000 / (1 + 0, 06) ^ 5)).
Die modifizierte Duration für diese Anleihe mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% für einen Kuponzeitraum beträgt 4, 59 Jahre (4, 87 / (1 + 0, 06 / 1) Die Duration der Anleihe verringert sich um 0, 28 Jahre (4, 87 - 4, 59).
Die Formel zur Berechnung der prozentualen Änderung des Anleihekurses ist die Änderung der Rendite multipliziert mit dem negativen Wert der modifizierten Duration multipliziert mit 100%. Diese resultierende prozentuale Veränderung der Anleihe bei einer Renditesteigerung von 1% wird mit -4, 59% (0, 01 * - 4, 59 * 100%) berechnet.
Die geänderte Dauer
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie Modified Duration = (1 + nYTM) Macauley Duration wobei: YTM = Rendite bis zur Endfälligkeit
Die modifizierte Duration ist eine angepasste Version der Macaulay-Duration, bei der sich die Rendite bis zur Fälligkeit ändert. Die Formel für die modifizierte Duration ist der Wert der Macaulay-Duration geteilt durch 1 zuzüglich der Rendite bis zur Fälligkeit geteilt durch die Anzahl der Couponperioden pro Jahr. Die modifizierte Duration bestimmt die Änderungen der Duration und des Preises einer Anleihe für jede prozentuale Änderung der Rendite bis zur Fälligkeit.
Angenommen, eine sechsjährige Anleihe hat einen Nennwert von 1.000 USD und einen jährlichen Kupon von 8%. Die Macaulay-Dauer wird mit 4, 99 Jahren ((1 × 80) / (1 + 0, 08) + (2 × 80) / (1 + 0, 08) × 2 + (3 × 80) / (1 + 0, 08) × 3 + berechnet (4 × 80) / (1 + 0, 08) × 4 + (5 × 80) / (1 + 0, 08) × 5 + (6 × 80) / (1 + 0, 08) × 6 + (6 × 1000) / (1 + 0, 08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0, 08) ^ -6) / 0, 08 + 1000 / (1 + 0, 08) ^ 6).
Die modifizierte Duration für diese Anleihe mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8% für eine Kuponperiode beträgt 4, 62 Jahre (4, 99 / (1 + 0, 08 / 1) Die Duration der Anleihe verringert sich um 0, 37 Jahre (4, 99 - 4, 62).
Die Formel zur Berechnung der prozentualen Änderung des Anleihekurses ist die Änderung der Rendite multipliziert mit dem negativen Wert der modifizierten Duration multipliziert mit 100%. Für eine Zinserhöhung von 8% auf 9% ergibt sich eine prozentuale Veränderung der Anleihe von -4, 62% (0, 01 * - 4, 62 * 100%).
Wenn die Zinssätze über Nacht um 1% steigen, dürfte der Preis der Anleihe um 4, 62% fallen.
Die modifizierten Duration- und Zinsswaps
Die modifizierte Duration könnte verlängert werden, um die Anzahl der Jahre zu berechnen, die ein Zinsswap benötigt, um den für den Swap gezahlten Preis zurückzuzahlen. Ein Zinsswap ist der Austausch einer Gruppe von Zahlungsströmen gegen eine andere und basiert auf den Zinsspezifikationen zwischen den Parteien.
Die modifizierte Duration wird berechnet, indem der Dollarwert einer Änderung eines Zinsswaps oder einer Serie von Cashflows um einen Basispunkt durch den Barwert der Serie von Cashflows dividiert wird. Der Wert wird dann mit 10.000 multipliziert. Die modifizierte Duration für jede Serie von Cashflows kann auch berechnet werden, indem der Dollarwert einer Basispunktänderung der Serie von Cashflows durch den Nominalwert plus den Marktwert dividiert wird. Die Fraktion wird dann mit 10.000 multipliziert.
Die modifizierte Duration beider Legs muss berechnet werden, um die modifizierte Duration des Zinsswaps zu berechnen. Die Differenz zwischen den beiden modifizierten Laufzeiten ergibt sich aus der modifizierten Laufzeit des Zinsswaps. Die Formel für die modifizierte Duration des Zinsswaps ist die modifizierte Duration des aufnehmenden Zweigs abzüglich der modifizierten Duration des zahlenden Zweigs.
Angenommen, Bank A und Bank B schließen einen Zinsswap ab. Die modifizierte Duration des aufnehmenden Segments eines Swaps wird mit neun Jahren und die modifizierte Duration des zahlenden Segments mit fünf Jahren berechnet. Die daraus resultierende modifizierte Duration des Zinsswaps beträgt vier Jahre (9 Jahre - 5 Jahre).
Vergleichen der Macaulay-Dauer und der modifizierten Dauer
Da die Macaulay-Duration die gewichtete durchschnittliche Zeit misst, die ein Anleger eine Anleihe halten muss, bis der Barwert der Cashflows der Anleihe dem für die Anleihe gezahlten Betrag entspricht, wird sie häufig von Anleihemanagern verwendet, die das Anleiheportfoliorisiko mit Impfstrategien steuern möchten.
Im Gegensatz dazu gibt die modifizierte Duration an, wie stark sich die Duration für jede prozentuale Änderung der Rendite ändert, während gemessen wird, wie stark sich eine Änderung der Zinssätze auf den Preis einer Anleihe auswirkt. Die modifizierte Duration kann somit ein Risikomaß für Anleiheinvestoren darstellen, indem angenähert wird, um wie viel der Preis einer Anleihe bei einem Anstieg der Zinssätze sinken könnte. Es ist wichtig zu beachten, dass Anleihepreise und Zinssätze eine umgekehrte Beziehung zueinander haben.
