Was ist der Satz von Bayes?
Der Satz von Bayes, benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Der Satz bietet eine Möglichkeit, vorhandene Vorhersagen oder Theorien (Aktualisierungswahrscheinlichkeiten) zu überarbeiten, wenn neue oder zusätzliche Beweise vorliegen. Im Finanzbereich kann das Bayes-Theorem verwendet werden, um das Risiko der Kreditvergabe an potenzielle Kreditnehmer zu bewerten.
Der Satz von Bayes wird auch Bayes'sche Regel oder Bayes'sches Gesetz genannt und ist die Grundlage des Feldes der Bayes'schen Statistik.
Die zentralen Thesen
- Mit dem Bayes-Theorem können Sie die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses durch Einbeziehung neuer Informationen aktualisieren. Das Bayes-Theorem wurde nach dem Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert benannt. Es wird häufig in der Finanzbranche zur Aktualisierung der Risikobewertung eingesetzt.
Die Formel für den Satz von Bayes lautet
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) wobei: P (A) = Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von AP (B) = Wahrscheinlichkeit des Auftretens von BP (A (B) = Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A bei gegebenem BP (B∣A) = Wahrscheinlichkeit des Auftretens von B bei gegebenem AP (A⋂B)) = Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A und B
Bayes 'Theorem erklärt
Anwendungen des Theorems sind weit verbreitet und nicht auf den Finanzbereich beschränkt. Beispielsweise kann der Bayes-Satz verwendet werden, um die Genauigkeit der medizinischen Testergebnisse zu bestimmen, indem berücksichtigt wird, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Person an einer Krankheit leidet, und die allgemeine Genauigkeit des Tests. Der Satz von Bayes beruht auf der Einbeziehung vorheriger Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um hintere Wahrscheinlichkeiten zu erzeugen. Die vorherige Wahrscheinlichkeit ist in der Bayes'schen statistischen Inferenz die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bevor neue Daten erfasst werden. Dies ist die beste rationale Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses auf der Grundlage des aktuellen Wissens, bevor ein Experiment durchgeführt wird. Die hintere Wahrscheinlichkeit ist die überarbeitete Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt, nachdem neue Informationen berücksichtigt wurden. Die hintere Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die vorherige Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Bayes-Theorems aktualisiert wird. Die hintere Wahrscheinlichkeit ist statistisch gesehen die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A bei Eintreten des Ereignisses B.
Der Satz von Bayes gibt somit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf neuen Informationen an, die mit diesem Ereignis zusammenhängen oder in Beziehung stehen können. Die Formel kann auch verwendet werden, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen beeinflusst wird, vorausgesetzt, die neuen Informationen werden sich als wahr herausstellen. Angenommen, eine einzelne Karte wird aus einem vollständigen Stapel von 52 Karten gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein König ist, ist 4 geteilt durch 52, was 1/13 oder ungefähr 7, 69% entspricht. Denken Sie daran, dass sich 4 Könige im Deck befinden. Nehmen wir nun an, es wird aufgedeckt, dass es sich bei der ausgewählten Karte um eine Bildkarte handelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ein König ist, ist 4 geteilt durch 12 oder ungefähr 33, 3%, da sich 12 Bildkarten in einem Deck befinden.
Ableiten der Bayes'schen Theoremformel anhand eines Beispiels
Der Satz von Bayes folgt einfach aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis eingetreten ist. Beispielsweise könnte eine einfache Wahrscheinlichkeitsfrage lauten: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs von Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) fällt?" Die bedingte Wahrscheinlichkeit bringt diese Frage noch einen Schritt weiter und fragt: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass der Kurs der AMZN-Aktie fällt , da der Dow Jones Industrial Average (DJIA) -Index früher gefallen ist?"
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, dass B eingetreten ist, kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wenn A ist: "AMZN-Preis fällt", dann ist P (AMZN) die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B ist: "DJIA ist bereits down" und P (DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der DJIA gefallen ist; dann lautet der bedingte Wahrscheinlichkeitsausdruck wie folgt: "Die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN bei einem DJIA-Rückgang fällt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Preis fällt, und DJIA sinkt über die Wahrscheinlichkeit eines Abfalls des DJIA-Index.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN und DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN und DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A und B. Dies ist auch dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, wenn A auftritt, ausgedrückt als P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Die Tatsache, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind, führt zu Bayes 'Satz, der wie folgt geschrieben wird:
wenn, P (AMZN und DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
dann ist P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Wobei P (AMZN) und P (DJIA) die Wahrscheinlichkeiten sind, mit denen Amazon und der Dow Jones ohne Rücksicht aufeinander fallen.
Die Formel erklärt die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, bevor der Beweis dafür erbracht wird, dass P (AMZN) und der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, nachdem der Beweis P (AMZN | DJIA) erbracht wurde, wenn eine Hypothese für Amazon anhand des Dow vorliegt.
Numerisches Beispiel des Bayes'schen Theorems
Stellen Sie sich als numerisches Beispiel vor, es gäbe einen Drogentest, der zu 98% genau ist, was bedeutet, dass er in 98% der Fälle für jemanden, der die Droge einnimmt, ein echtes positives Ergebnis und in 98% der Fälle für Nichtnutzer der Droge ein echtes negatives Ergebnis zeigt Droge. Als nächstes nehmen wir an, dass 0, 5% der Menschen die Droge nehmen. Wenn eine zufällig ausgewählte Person positiv auf das Medikament getestet wird, kann die folgende Berechnung durchgeführt werden, um festzustellen, ob die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich ein Konsument des Medikaments ist, hoch ist.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Der Satz von Bayes zeigt, dass selbst wenn eine Person in diesem Szenario positiv getestet wird, es sehr viel wahrscheinlicher ist, dass die Person kein Benutzer des Arzneimittels ist.
