Was ist kontinuierliches Compoundieren?
Kontinuierliche Verzinsung ist die mathematische Grenze, die Zinseszinsen erreichen können, wenn sie über eine theoretisch unendliche Anzahl von Perioden berechnet und in den Kontostand reinvestiert werden. Während dies in der Praxis nicht möglich ist, ist das Konzept des kontinuierlichen Zinseszinses für die Finanzierung wichtig. Es handelt sich um einen Extremfall der Aufzinsung, da die meisten Zinsen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich aufgerechnet werden. Kontinuierliche Zinseszinsen bedeuten theoretisch, dass ein Kontostand ständig Zinsen verdient und diese Zinsen wieder in den Kontostand eingezahlt werden, so dass auch dieser Zinsen verdient.
Grundlegendes zu Zinseszins
Formel und Berechnung des Zinseszinses
Anstatt die Zinsen für eine begrenzte Anzahl von Perioden zu berechnen, wie beispielsweise für ein Jahr oder einen Monat, berechnet die kontinuierliche Aufzinsung die Zinsen unter der Annahme einer konstanten Aufzinsung über eine unbegrenzte Anzahl von Perioden. Selbst bei sehr großen Investitionsbeträgen ist der Unterschied in den Gesamtzinsen, die durch die kontinuierliche Aufzinsung erzielt werden, im Vergleich zu herkömmlichen Aufzinsungsperioden nicht sehr hoch.
Die Formel für Zinseszinsen über begrenzte Zeiträume berücksichtigt vier Variablen:
- PV = der Barwert der Investition i = die angegebenen Zinsen = die Anzahl der Zinsperioden i = die Zeit in Jahren
Die Formel für die kontinuierliche Aufzinsung ergibt sich aus der Formel für den zukünftigen Wert einer verzinslichen Investition:
Zukünftiger Wert (FV) = PV x (nxt)
Wenn die Grenze dieser Formel berechnet wird, wenn n gegen unendlich geht (gemäß der Definition der kontinuierlichen Aufzinsung), ergibt sich die Formel für die kontinuierliche Aufzinsung:
FV = PV xe (ixt), wobei e die mathematische Konstante ist, die als 2, 7183 angenähert wird.
Die zentralen Thesen
- Der größte Teil der Zinsen wird halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich verzinst. Kontinuierlich verzinste Zinsen setzen voraus, dass die Zinsen unzählige Male verzinst und wieder zu einem Anfangswert addiert werden. Die Formel für kontinuierlich verzinste Zinsen lautet FV = PV xe (ixt)., wobei FV der zukünftige Wert der Investition ist, PV der Barwert ist, i der angegebene Zinssatz ist, t die Zeit in Jahren ist, e die mathematische Konstante ist, die als 2, 7183 angenähert wird.
Ein Beispiel von Interesse, das in verschiedenen Intervallen zusammengestellt wird
Nehmen wir beispielsweise an, dass eine Investition in Höhe von 10.000 US-Dollar im nächsten Jahr 15% Zinsen bringt. Die folgenden Beispiele zeigen den Endwert der Anlage, wenn die Zinsen jährlich, halbjährlich, vierteljährlich, monatlich, täglich und fortlaufend erhöht werden.
- Jährliche Aufzinsung: FV = 10.000 USD x (1 + (15% / 1)) (1 x 1) = 11.500 USD. Jährliche Aufzinsung: FV = 10.000 USD x (1 + (15% / 2)) (2 x 1) = 11.556, 25 USD Vierteljährliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 x (1 + (15% / 4)) (4 x 1) = $ 11.586, 50 Monatliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 x (1 + (15% / 12)) (12 x 1) = $ 11.607, 55 Tägliche Aufzinsung: FV = $ 10.000 × (1 + (15% / 365)) (365 × 1) = $ 11.617, 98 Kontinuierliche Verbindung: FV = $ 10.000 × 2, 7183 (15% × 1) = $ 11.618, 34
Bei täglicher Verzinsung beträgt der Gesamtverdienst 1.617, 98 USD, während bei kontinuierlicher Verzinsung der Gesamtverdienst 1.618, 34 USD beträgt.
