Bewertungsoptionen können ein heikles Geschäft sein. Stellen Sie sich das folgende Szenario vor: Im Januar 2015 notierte die IBM-Aktie bei 155 USD, und Sie haben damit gerechnet, dass sie in den nächsten ein Jahr steigen wird. Sie beabsichtigen, eine Kaufoption für die IBM Aktie mit einem Geldautomatenausübungspreis von 155 US-Dollar zu kaufen, wobei Sie erwarten, dass Sie von einer hohen prozentualen Rendite profitieren, die auf geringen Optionskosten (Optionsprämie) im Vergleich zum Aktienkauf mit einem hohen Kaufpreis basiert.
Welchen beizulegenden Zeitwert sollte diese Call-Option für IBM haben?
Heutzutage stehen verschiedene vorgefertigte Methoden zur Bewertung von Optionen zur Verfügung, einschließlich des Black-Scholes-Modells und des Binomialbaummodells, die schnelle Antworten liefern können. Doch welche Faktoren und Antriebskonzepte liegen solchen Bewertungsmodellen zugrunde? Kann auf der Grundlage des Konzepts dieser Modelle etwas Ähnliches vorbereitet werden?
Hier werden die Bausteine, die zugrunde liegenden Konzepte und die Faktoren behandelt, die als Rahmen für die Erstellung eines Bewertungsmodells für einen Vermögenswert wie Optionen verwendet werden können, um einen direkten Vergleich mit den Ursprüngen der Black-Scholes (BS) Modell.
Die Welt vor Black-Scholes
Vor Black-Scholes wurde das auf dem Gleichgewicht basierende Capital Asset Pricing Model (CAPM) weitgehend befolgt. Die Renditen und Risiken wurden je nach Präferenz des Anlegers gegeneinander abgewogen, dh von einem risikobehafteten Anleger wurde erwartet, dass er mit (potenziellen) höheren Renditen in einem ähnlichen Verhältnis kompensiert wird.
Das BS-Modell hat seine Wurzeln in CAPM. Fisher Black: „Ich habe das Capital Asset Pricing-Modell auf jeden Moment im Leben eines Optionsscheins angewendet, für jeden möglichen Aktienkurs und Optionswert.“ Leider konnte das CAPM die Anforderung der Optionspreisgestaltung nicht erfüllen.
Black-Scholes bleibt das erste Modell, das auf dem Konzept der Arbitrage basiert und einen Paradigmenwechsel gegenüber risikobasierten Modellen (wie CAPM) vollzieht. Diese neue BS-Modellentwicklung ersetzte das CAPM-Aktienrenditekonzept mit der Erkenntnis, dass eine perfekt abgesicherte Position einen risikofreien Zinssatz verdient. Dadurch wurden die Risiko- und Ertragsschwankungen beseitigt und das Konzept der Arbitrage eingeführt, bei dem die Annahmen eines risikoneutralen Konzepts bewertet werden. Eine abgesicherte (risikofreie) Position sollte zu einer risikofreien Rendite führen.
Die Entwicklung der Black-Scholes
Beginnen wir damit, das Problem zu ermitteln, es zu quantifizieren und einen Rahmen für seine Lösung zu entwickeln. Wir fahren mit unserem Beispiel zur Bewertung der ATM-Call-Option für IBM mit einem Ausübungspreis von 155 USD fort, der ein Jahr vor Ablauf liegt.
Auf der Basis der Grunddefinition einer Call-Option bleibt die Auszahlung Null, sofern der Aktienkurs nicht das Ausübungspreisniveau erreicht. Nach diesem Niveau steigt die Auszahlung linear an (dh eine Erhöhung des Basiswerts um einen Dollar ergibt eine Auszahlung von einem Dollar aus der Call-Option).
Unter der Annahme, dass sich Käufer und Verkäufer auf eine faire Bewertung (einschließlich des Nullpreises) einigen, beträgt der theoretische faire Preis für diese Kaufoption:
- Kaufoptionspreis = 0 USD, wenn Basiswert <Basiswert (rotes Diagramm) Kaufoptionspreis = (Basiswert - Basiswert), wenn Basiswert> = Basiswert (blaues Diagramm)
Dies stellt den inneren Wert der Option dar und sieht aus Sicht eines Call-Option-Käufers perfekt aus. In der roten Region haben sowohl der Käufer als auch der Verkäufer eine faire Bewertung (null Preis für den Verkäufer, null Auszahlung für den Käufer). Die Bewertungsherausforderung beginnt jedoch mit dem blauen Bereich, da der Käufer den Vorteil einer positiven Auszahlung hat, während der Verkäufer einen Verlust erleidet (vorausgesetzt, der Basiswert liegt über dem Ausübungspreis). Hier hat der Käufer einen Vorteil gegenüber dem Verkäufer mit dem Nullpreis. Die Preisgestaltung muss ungleich Null sein, um den Verkäufer für das von ihm eingegangene Risiko zu entschädigen.
Im ersteren Fall (rote Grafik) erhält der Verkäufer theoretisch den Preis Null, und für den Käufer besteht kein Amortisationspotenzial (fair zu beiden). Im letzteren Fall (blaues Diagramm) ist die Differenz zwischen Basiswert und Basispreis vom Verkäufer an den Käufer zu zahlen. Das Risiko des Verkäufers erstreckt sich über die Dauer eines ganzen Jahres. Zum Beispiel kann der zugrunde liegende Aktienkurs sehr hoch sein (etwa 200 USD in vier Monaten) und der Verkäufer muss dem Käufer die Differenz von 45 USD zahlen.
Es läuft also auf Folgendes hinaus:
- Wird der Kurs des Basiswerts den Ausübungspreis kreuzen? Wenn ja, wie hoch kann der Basiswert sein (da dies die Auszahlung an den Käufer bestimmt)?
Dies weist auf das große Risiko des Verkäufers hin, das zu der Frage führt: Warum sollte jemand einen solchen Anruf verkaufen, wenn er für das von ihm eingegangene Risiko nichts erhält?
Unser Ziel ist es, einen einheitlichen Preis zu erzielen, den der Verkäufer dem Käufer in Rechnung stellen sollte, der ihn für das Gesamtrisiko entschädigen kann, das er über ein Jahr hinweg eingeht - sowohl im Nullzahlungsbereich (rot) als auch im linearen Zahlungsbereich (blau).. Der Preis sollte für Käufer und Verkäufer fair und akzeptabel sein. Wenn nicht, dann wird derjenige, der in Bezug auf das Bezahlen oder Empfangen eines unfairen Preises benachteiligt ist, nicht am Markt teilnehmen, wodurch der Zweck des Handelsgeschäfts zunichte gemacht wird. Das Black-Scholes-Modell zielt darauf ab, diesen fairen Preis unter Berücksichtigung der ständigen Kursschwankungen der Aktie, des Zeitwerts des Geldes, des Ausübungspreises der Option und der Zeit bis zum Verfall der Option zu ermitteln. Schauen wir uns an, wie wir ähnlich wie beim BS-Modell vorgehen können, um dies für unser Beispiel mit unseren eigenen Methoden zu bewerten.
Wie bewertet man den inneren Wert in der blauen Region?
Es stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, um die erwartete Preisbewegung in der Zukunft für einen bestimmten Zeitraum vorherzusagen:
- Man kann ähnliche Preisbewegungen der gleichen Dauer in der jüngeren Vergangenheit analysieren. Der historische IBM-Schlusskurs zeigt, dass der Preis in den vergangenen ein Jahren (2. Januar 2014 bis 31. Dezember 2014) von 185, 53 USD auf 160, 44 USD gesunken ist, was einem Rückgang von 13, 5% entspricht. Können wir eine Preisbewegung von -13, 5% für IBM abschließen? Eine weitere detaillierte Überprüfung zeigt, dass sie ein Jahreshoch von 199, 21 USD (am 10. April 2014) und ein Jahrestief von 150, 5 USD (am 16. Dezember 2014) erreicht hat. Basierend auf diesen Werten am Starttag, dem 2. Januar 2014, und dem Schlusskurs von 185, 53 USD variiert die prozentuale Veränderung von + 7, 37% bis -18, 88%. Gegenüber dem zuvor berechneten Rückgang von 13, 5% ist die Schwankungsbreite nun deutlich größer.
Ähnliche Analysen und Beobachtungen zu historischen Daten können durchgeführt werden. Nehmen wir diese einfache Methode an, um zukünftige Preisschwankungen zu messen, damit wir unsere Preismodellentwicklung fortsetzen können.
Angenommen, IBM steigt jährlich um 10% (basierend auf den historischen Daten der letzten 20 Jahre). Grundlegende Statistiken zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit einer Änderung des IBM-Aktienkurses um + 10% viel höher ist als die Wahrscheinlichkeit eines Anstiegs des IBM-Kurses um 20% oder eines Rückgangs um 30%, vorausgesetzt, dass sich die historischen Muster wiederholen. Wenn ähnliche historische Datenpunkte mit Wahrscheinlichkeitswerten erfasst werden, kann eine erwartete Gesamtrendite des IBM-Aktienkurses in einem Zeitraum von einem Jahr als gewichteter Durchschnitt der Wahrscheinlichkeiten und der damit verbundenen Renditen berechnet werden. Angenommen, die historischen Preisdaten von IBM weisen auf die folgenden Schritte hin:
- (-10%) in 25% der Fälle, + 10% in 35% der Fälle, + 15% in 20% der Fälle, + 20% in 10% der Fälle + 25% in 5% der Fälle und (-15%) in 5% der Fälle.
Der gewichtete Durchschnitt (oder der Erwartete Wert) ergibt sich somit zu:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Das heißt, im Durchschnitt wird erwartet, dass der Kurs der IBM Aktie in einem Jahr für jeden Dollar + 6, 5% rentiert. Wenn jemand die IBM-Aktie mit einem Einjahreshorizont und einem Kaufpreis von 155 USD kauft, kann er eine Nettorendite von 155 * 6, 5% = 10, 075 USD erwarten.
Dies gilt jedoch für die Bestandsrückgabe. Wir müssen nach ähnlichen erwarteten Erträgen für die Call-Option suchen.
Basierend auf der Null-Auszahlung des Calls unterhalb des Basispreises (bestehender $ 155 - ATM-Call) werden alle negativen Bewegungen Null-Auszahlungen generieren, während alle positiven Bewegungen oberhalb des Basispreises äquivalente Auszahlungen generieren. Die erwartete Rendite für die Call-Option ist daher:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Das heißt, für jeweils 100 USD, die in den Kauf dieser Option investiert wurden, kann mit 9, 75 USD gerechnet werden (basierend auf den obigen Annahmen).
Dies bleibt jedoch weiterhin auf die faire Bewertung des inneren Optionsbetrags beschränkt und erfasst das vom Optionsverkäufer getragene Risiko für die hohen Schwankungen, die in der Zwischenzeit auftreten können, nicht korrekt (im Falle der oben erwähnten hohen und niedrigen inneren Schwankungen) Preise). Welchen Preis können Käufer und Verkäufer zusätzlich zum inneren Wert vereinbaren, damit der Verkäufer für das Risiko, das er innerhalb eines Jahres eingeht, angemessen entschädigt wird?
Diese Schwankungen können sehr unterschiedlich sein, und der Verkäufer kann selbst bestimmen, wie viel er dafür entschädigt werden möchte. Das Black-Scholes-Modell geht von Optionen des europäischen Typs aus, dh keine Ausübung vor dem Ablaufdatum. Sie bleibt daher von Kursschwankungen unberührt und stützt ihre Bewertung auf Ende-zu-Ende-Handelstage.
Im Real Day Trading spielt diese Volatilität eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Optionspreise. Die blaue Auszahlungsfunktion, die wir normalerweise sehen, ist die Auszahlung am Ablaufdatum. Realistisch gesehen ist der Optionspreis (rosa Grafik) immer höher als die Auszahlung (blaue Grafik) und gibt den Preis an, den der Verkäufer als Ausgleich für seine Risikotragfähigkeit eingenommen hat. Aus diesem Grund wird der Optionspreis auch als „Prämie“ bezeichnet, was im Wesentlichen die Risikoprämie angibt.
Dies kann in unser Bewertungsmodell einbezogen werden, abhängig davon, wie viel Volatilität im Aktienkurs erwartet wird und wie viel erwarteter Wert sich daraus ergeben würde.
Das Black-Scholes-Modell erledigt dies effizient (natürlich im Rahmen seiner eigenen Annahmen) wie folgt:
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie C = S × N (d1) - X × e - rTN (d2)
Das BS-Modell geht von einer logarithmischen Verteilung der Aktienkursbewegungen aus, die die Verwendung von N (d1) und N (d2) rechtfertigt.
- Im ersten Teil gibt S den aktuellen Aktienkurs an. N (d1) gibt die Wahrscheinlichkeit der aktuellen Kursbewegung der Aktie an.
Wenn diese Option ins Geld geht und der Käufer von dieser Option Gebrauch machen kann, erhält er eine Aktie der zugrunde liegenden IBM-Aktie. Wenn der Händler es heute ausübt, repräsentiert das S * N (d1) den gegenwärtigen erwarteten Wert der Option.
Im zweiten Teil gibt X den Ausübungspreis an.
- N (d2) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Aktienkurs über dem Ausübungspreis liegt. X * N (d2) stellt den erwarteten Wert des Aktienkurses dar, der über dem Ausübungspreis verbleibt.
Da das Black-Scholes-Modell Optionen im europäischen Stil annimmt, bei denen die Ausübung nur am Ende möglich ist, sollte der oben durch X * N (d2) dargestellte Erwartungswert auf den Zeitwert des Geldes abgezinst werden. Daher wird der letzte Teil mit dem exponentiellen Term multipliziert, der über den Zeitraum auf den Zinssatz angehoben wird.
Die Nettodifferenz der beiden Laufzeiten gibt den Preiswert der Option zum heutigen Zeitpunkt an (wobei die zweite Laufzeit abgezinst ist).
In unserem Rahmen können solche Preisbewegungen auf verschiedene Arten genauer berücksichtigt werden:
- Weitere Verfeinerung der Berechnungen der erwarteten Rendite durch Erweiterung des Bereichs auf feinere Intervalle, um Bewegungen innerhalb eines Tages / innerhalb eines Jahres einzuschließen für realistische Bewertungen auf den heutigen Tag abgezinst und vom heutigen Wert weiter reduziert werden
Wir sehen also, dass den Annahmen, Methoden und Anpassungen, die für die quantitative Analyse ausgewählt werden müssen, keine Grenzen gesetzt sind. Abhängig von dem zu handelnden Vermögenswert oder der zu berücksichtigenden Investition kann an einem selbst entwickelten Modell gearbeitet werden. Es ist wichtig zu beachten, dass die Volatilität der Kursbewegungen verschiedener Anlageklassen sehr unterschiedlich ist - Aktien weisen Volatilitätsunterschiede auf, Devisen weisen Volatilitätsprobleme auf - und Benutzer sollten die anwendbaren Volatilitätsmuster in ihre Modelle einbeziehen. Annahmen und Nachteile sind integraler Bestandteil eines jeden Modells, und die sachkundige Anwendung von Modellen in realen Handelsszenarien kann zu besseren Ergebnissen führen.
Die Quintessenz
Mit dem Eintritt komplexer Vermögenswerte in die Märkte oder sogar einfacher Vanille-Vermögenswerte in komplexe Handelsformen wird die quantitative Modellierung und Analyse für die Bewertung obligatorisch. Leider kommt kein mathematisches Modell ohne eine Reihe von Nachteilen und Annahmen aus. Der beste Ansatz besteht darin, die Annahmen auf ein Minimum zu beschränken und sich der impliziten Nachteile bewusst zu sein, die dazu beitragen können, die Grenzen für die Verwendung und Anwendbarkeit der Modelle zu ziehen.
