Was ist das Gesetz der großen Zahlen?
Das Gesetz der großen Zahlen in Bezug auf Wahrscheinlichkeit und Statistik besagt, dass mit zunehmender Stichprobengröße der Mittelwert näher an den Durchschnitt der Gesamtbevölkerung heranreicht. Im 16. Jahrhundert erkannte die Mathematikerin Gerolama Cardano das Gesetz der großen Zahlen, bewies es aber nie. 1713 bewies der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli diesen Satz in seinem Buch Ars Conjectandi . Es wurde später von anderen bekannten Mathematikern wie Pafnuty Chebyshev, dem Gründer der St. Petersburger Mathematikschule, verfeinert.
In finanzieller Hinsicht weist das Gesetz der großen Zahlen darauf hin, dass ein großes Unternehmen, das schnell wächst, dieses Wachstumstempo nicht für immer aufrechterhalten kann. Die größten Blue Chips mit Marktwerten in der Größenordnung von Hunderten von Milliarden werden häufig als Beispiele für dieses Phänomen angeführt.
Die zentralen Thesen
- Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass ein beobachteter Stichprobenmittelwert einer großen Stichprobe nahe am wahren Bevölkerungsdurchschnitt liegt und sich mit zunehmender Stichprobe annähert. Das Gesetz der großen Zahlen garantiert nicht, dass eine bestimmte Stichprobe, insbesondere eine kleine Stichprobe, annähert Stichprobe, spiegelt die wahren Populationsmerkmale wider oder eine Stichprobe, die nicht die wahren Populationsmerkmale widerspiegelt, wird durch eine nachfolgende Stichprobe ausgeglichen Skalen- und Wachstumsraten.
Das Gesetz der großen Zahlen verstehen
In der statistischen Analyse kann das Gesetz der großen Zahlen auf eine Vielzahl von Themen angewendet werden. Es ist möglicherweise nicht möglich, jede Person in einer bestimmten Population zu befragen, um die erforderliche Datenmenge zu erfassen, aber jeder zusätzliche gesammelte Datenpunkt kann die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass das Ergebnis ein echtes Maß für den Mittelwert ist.
In der Wirtschaft wird der Begriff "Gesetz der großen Zahlen" manchmal in Bezug auf die prozentualen Wachstumsraten verwendet. Dies deutet darauf hin, dass es im Zuge der Expansion eines Unternehmens immer schwieriger wird, die prozentuale Wachstumsrate beizubehalten.
Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet nicht, dass eine bestimmte Stichprobe oder Gruppe aufeinanderfolgender Stichproben immer die wahren Populationsmerkmale widerspiegelt, insbesondere bei kleinen Stichproben. Dies bedeutet auch, dass, wenn eine gegebene Stichprobe oder eine Reihe von Stichproben vom wahren Bevölkerungsdurchschnitt abweicht, das Gesetz der großen Zahlen nicht garantiert, dass aufeinanderfolgende Stichproben den beobachteten Durchschnitt in Richtung des Bevölkerungsmittelwerts verschieben (wie vom Fehlschluss des Spielers nahegelegt).
Das Gesetz der großen Zahlen darf nicht mit dem Gesetz der Durchschnitte verwechselt werden, das besagt, dass die Verteilung der Ergebnisse in einer Stichprobe (groß oder klein) die Verteilung der Ergebnisse der Bevölkerung widerspiegelt.
Das Gesetz der großen Zahlen und die statistische Analyse
Wenn eine Person den Durchschnittswert eines Datensatzes mit 100 möglichen Werten ermitteln möchte, ist es wahrscheinlicher, dass sie durch Auswahl von 20 Datenpunkten einen genauen Durchschnittswert erreicht, anstatt sich auf nur zwei zu verlassen. Wenn der Datensatz beispielsweise alle ganzen Zahlen von eins bis 100 enthält und der Probennehmer nur zwei Werte zeichnet, z. B. 95 und 40, kann er den Durchschnitt auf ungefähr 67, 5 festlegen. Wenn er weiterhin bis zu 20 Variablen zufällig auswählt, sollte sich der Durchschnitt in Richtung des wahren Durchschnitts verschieben, wenn er mehr Datenpunkte berücksichtigt.
Gesetz der großen Zahlen und des Unternehmenswachstums
In Wirtschaft und Finanzen wird dieser Begriff manchmal umgangssprachlich verwendet, um die Beobachtung zu bezeichnen, dass exponentielle Wachstumsraten häufig nicht skalieren. Dies hängt eigentlich nicht mit dem Gesetz der großen Zahlen zusammen, sondern kann ein Ergebnis des Gesetzes der Verringerung der Grenzerträge oder der Größenunterschiede sein.
Beispielsweise wurde im Juli 2015 ein Umsatz von 485, 5 Mrd. USD durch Walmart Inc. erzielt, während Amazon.com Inc. im selben Zeitraum 95, 8 Mrd. USD einbrachte. Wenn Walmart den Umsatz um 50% steigern wollte, wären Einnahmen in Höhe von rund 242, 8 Mrd. USD erforderlich. Im Gegensatz dazu müsste Amazon den Umsatz nur um 47, 9 Milliarden US-Dollar steigern, um eine Steigerung um 50 Prozent zu erreichen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen wäre die Steigerung um 50% für Walmart schwieriger als für Amazon.
Die gleichen Prinzipien können auf andere Messgrößen wie Marktkapitalisierung oder Nettogewinn angewendet werden. Infolgedessen können Investitionsentscheidungen auf der Grundlage der damit verbundenen Schwierigkeiten gesteuert werden, die Unternehmen mit sehr hoher Marktkapitalisierung im Zusammenhang mit der Wertsteigerung von Aktien haben können.
