Auch wenn Sie die Binomialverteilung nicht namentlich kennen und nie an einem Statistikkurs für Fortgeschrittene teilgenommen haben, verstehen Sie das von Natur aus. Wirklich. Dies ist eine Methode, um die Wahrscheinlichkeit eines diskreten Ereignisses zu bestimmen, das entweder eintritt oder ausfällt. Und es gibt viele Anwendungen im Finanzbereich. So funktioniert das:
Sie beginnen damit, etwas zu versuchen - Münzwürfe, Freiwürfe, Rouletteraddrehungen, was auch immer. Die einzige Einschränkung ist, dass das fragliche Objekt genau zwei mögliche Ergebnisse haben muss. Erfolg oder Misserfolg, das war's. (Ja, ein Roulette-Rad hat 38 mögliche Ergebnisse. Aber vom Standpunkt eines Wetters gibt es nur zwei. Sie werden entweder gewinnen oder verlieren.)
Wir werden für unser Beispiel Freiwürfe verwenden, da diese etwas interessanter sind als die exakte und unveränderliche Wahrscheinlichkeit von 50% eines Münzlandekopfs. Angenommen, Sie sind Dirk Nowitzki von den Dallas Mavericks, der im letzten Jahr 89, 9% seiner Freiwürfe erzielt hat. Wir nennen es 90% für unsere Zwecke. Wenn Sie ihn jetzt an die Reihe bringen würden, wie hoch sind die Chancen, dass er (mindestens) 9 von 10 Punkten erreicht?
Nein, sie sind nicht 100%. Sie sind auch nicht zu 90%.
Sie sind 74%, ob Sie es glauben oder nicht. Hier ist die Formel. Wir sind alle Erwachsene hier, vor Exponenten und griechischen Buchstaben braucht man sich nicht zu fürchten:
n ist die Anzahl der Versuche. In diesem Fall 10.
i ist die Anzahl der Erfolge, entweder 9 oder 10. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für jeden Erfolg und addieren sie dann.
p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ereignisses, die 0, 9 beträgt.
Die Chance, das Ziel zu erreichen, dh die Binomialverteilung von Erfolgen und Misserfolgen, ist wie folgt:
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie I = 0∑k (ni) pi (1 - p) n - i
Hilfsbereite mathematische Notation, wenn Sie die Ausdrücke in diesem Ausdruck weiter aufschlüsseln möchten:
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie (Ni) = (n - i)! I! N!
Das ist das „Binomial“ in der Binomialverteilung: dh zwei Terme. Uns interessiert nicht nur die Anzahl der Erfolge, sondern auch die Anzahl der Versuche, sondern beides. Jeder ist für uns ohne den anderen nutzlos.
Weitere Hilfsmittel für die mathematische Notation:! ist faktoriell: Multiplikation einer positiven Ganzzahl mit jeder kleineren positiven Ganzzahl. Zum Beispiel, Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Geben Sie die Zahlen ein und denken Sie daran, dass wir 9 von 10 Freiwürfen und 10 von 10 lösen müssen
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie (9! 1! 10! ×.9, 9 ×.1, 1) + (10! 10! ×.91 ×.10)
= 0, 387420489 (das ist die Chance, neun zu treffen) + 0, 3486784401 (die Chance, alle zehn zu treffen)
= 0, 736098929
Dies ist die kumulative Verteilung im Gegensatz zur reinen Wahrscheinlichkeitsverteilung . Die kumulative Verteilung ist die Summe mehrerer Wahrscheinlichkeitsverteilungen (in unserem Fall zwei). Die kumulative Verteilung berechnet die Chance, einen Wertebereich zu treffen - hier 9 oder 10 von 10 Freiwürfen - anstelle eines einzelnen Wert. Wenn wir uns fragen, wie hoch die Chancen sind, dass Nowitzki 9 von 10 Punkten erreicht, sollten wir verstehen, dass wir "9 von 10 Punkten oder besser" und nicht "genau 9 von 10 Punkten" meinen.
Was hat das mit Finanzen zu tun? Mehr als Sie vielleicht denken. Angenommen, Sie sind eine Bank, ein Kreditgeber, der die Wahrscheinlichkeit eines Zahlungsausfalls eines bestimmten Kreditnehmers auf drei Dezimalstellen genau kennt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass so viele Kreditnehmer in Zahlungsverzug geraten, dass sie die Bank insolvent machen? Wenn Sie die kumulative Binomialverteilung verwenden, um diese Zahl zu berechnen, haben Sie eine bessere Vorstellung davon, wie Sie eine Versicherung abschließen und letztendlich wie viel Geld Sie leihen und wie viel Sie in Reserve halten müssen.
Haben Sie sich jemals gefragt, wie die anfänglichen Preise der Optionen bestimmt werden? Das Gleiche, irgendwie. Wenn eine volatile zugrunde liegende Aktie die Chance hat, einen bestimmten Kurs zu erreichen, können Sie sich ansehen, wie sich die Aktie über eine Reihe von n Perioden bewegt, um zu bestimmen, zu welchem Preis die Optionen verkauft werden sollen. (Sind Sie bereit für fortgeschrittenere Handelstechniken? Lesen Sie den Artikel von Investopedia über Strategien zur Verwendung technischer Indikatoren.)
Die Anwendung der Binomialverteilungsfunktion auf die Finanzierung führt zu überraschenden, wenn nicht sogar völlig kontraproduktiven Ergebnissen. Ähnlich wie die Chance, dass ein Freiwurfschütze mit 90% weniger als 90% seiner Freiwürfe erzielt. Angenommen, Sie haben eine Sicherheit, bei der die Chance auf einen Gewinn von 20% ebenso groß ist wie auf einen Verlust von 20%. Wenn der Kurs des Wertpapiers um 20% fallen sollte, wie stehen die Chancen, dass es wieder auf sein ursprüngliches Niveau zurückkehrt? Denken Sie daran, dass ein einfacher entsprechender Gewinn von 20% nicht schadet: Eine Aktie, die um 20% fällt und dann um 20% steigt, ist immer noch um 4% gefallen. Halten Sie abwechselnd 20% fällt und gewinnt, und schließlich wird die Aktie wertlos sein.
Die Quintessenz
Analysten, die sich mit der Binomialverteilung auskennen, verfügen über zusätzliche Qualitätswerkzeuge, um die Preise zu bestimmen, das Risiko zu bewerten und die unangenehmen Ergebnisse zu vermeiden, die sich aus unzureichender Vorbereitung ergeben können. Wenn Sie die Binomialverteilung und ihre oft überraschenden Ergebnisse verstehen, sind Sie den Massen weit voraus.
