In der Finanzbranche ist die Schätzung des künftigen Werts von Zahlen oder Beträgen aufgrund der Vielzahl möglicher Ergebnisse mit einer Reihe von Unsicherheiten und Risiken verbunden. Die Monte-Carlo-Simulation (MCS) ist eine Technik, mit der sich die Unsicherheit bei der Schätzung zukünftiger Ergebnisse verringern lässt. MCS kann auf komplexe, nichtlineare Modelle angewendet oder zur Bewertung der Genauigkeit und Leistung anderer Modelle verwendet werden. Es kann auch in Risikomanagement, Portfoliomanagement, Preisderivaten, strategischer Planung, Projektplanung, Kostenmodellierung und anderen Bereichen implementiert werden.
Definition
MCS ist eine Technik, die Unsicherheiten in Eingabevariablen eines Modells in Wahrscheinlichkeitsverteilungen umwandelt. Durch die Kombination der Verteilungen und die zufällige Auswahl von Werten aus diesen wird das simulierte Modell viele Male neu berechnet und die Wahrscheinlichkeit der Ausgabe herausgestellt.
Grundlegende Merkmale
- Mit MCS können mehrere Eingaben gleichzeitig verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer oder mehrerer Ausgaben zu erstellen. Den Eingaben des Modells können verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugewiesen werden. Wenn die Verteilung unbekannt ist, kann diejenige gewählt werden, die die beste Übereinstimmung darstellt. Die Verwendung von Zufallszahlen kennzeichnet MCS als stochastische Methode. Die Zufallszahlen müssen unabhängig sein; Zwischen ihnen sollte keine Korrelation bestehen. MCS generiert die Ausgabe als Bereich anstelle eines festen Werts und zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Ausgabewert im Bereich auftritt.
Einige häufig verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilungen in MCS
Normalverteilung / Gaußverteilung - Kontinuierliche Verteilung in Situationen, in denen der Mittelwert und die Standardabweichung angegeben sind und der Mittelwert den wahrscheinlichsten Wert der Variablen darstellt. Es ist symmetrisch um den Mittelwert und ist nicht begrenzt.
Logarithmische Normalverteilung - Kontinuierliche Verteilung, angegeben durch Mittelwert und Standardabweichung. Dies ist für eine Variable im Bereich von Null bis Unendlich mit positiver Schiefe und normalverteiltem natürlichem Logarithmus angemessen.
Dreiecksverteilung - Kontinuierliche Verteilung mit festen Minimal- und Maximalwerten. Sie ist durch die Minimal- und Maximalwerte begrenzt und kann entweder symmetrisch (der wahrscheinlichste Wert = Mittelwert = Median) oder asymmetrisch sein.
Gleichmäßige Verteilung - Kontinuierliche Verteilung, begrenzt durch bekannte Minimal- und Maximalwerte. Im Gegensatz zur Dreiecksverteilung ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Werte zwischen Minimum und Maximum gleich.
Exponentielle Verteilung - Kontinuierliche Verteilung zur Veranschaulichung der Zeit zwischen unabhängigen Ereignissen, sofern die Häufigkeit der Ereignisse bekannt ist.
Die Mathematik hinter MCS
Man nehme an, dass wir eine reelle Funktion g (X) mit der Wahrscheinlichkeitshäufigkeitsfunktion P (x) (wenn X diskret ist) oder der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (x) (wenn X stetig ist) haben. Dann können wir den erwarteten Wert von g (X) diskret bzw. stetig definieren:
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), wobei P (x)> 0 und - ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, wobei f (x)> 0 und ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1Nächst n zufällige Zeichnungen von X (x1, …, xn), sogenannte Probeläufe oder Simulationsläufe, berechnen g (x1), …, g (xn)
Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie Gnμ (x) = n1 i = 1 n g (xi), was den endgültigen simulierten Wert von E (g (X)) darstellt, daher ist gnμ (X) = n1 i = 1 n g (X) ist der Monte-Carlo-Schätzer von E (g (X)). Da n → ∞ gnμ (X) → E (g (X)) ist, können wir nun die Streuung um den geschätzten Mittelwert mit dem berechnen unvoreingenommene Varianz von gnμ (X):
Einfaches Beispiel
Wie wirkt sich die Unsicherheit bei Stückpreis, Absatz und variablen Kosten auf das EBITD aus?
Copyright Unit Sales) - (Variable Kosten + Fixkosten)
Erläutern wir die Unsicherheit der Inputs - Stückpreis, Absatz und variable Kosten - anhand einer Dreiecksverteilung, die durch die jeweiligen Mindest- und Höchstwerte der Inputs aus der Tabelle angegeben wird.
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Empfindlichkeitstabelle
Ein Sensitivitätsdiagramm kann sehr nützlich sein, um die Auswirkung der Eingänge auf den Ausgang zu analysieren. Es heißt, dass der Absatz 62% der Varianz des simulierten EBITD, die variablen Kosten 28, 6% und der Stückpreis 9, 4% ausmacht. Die Korrelation zwischen Absatz und EBITD sowie zwischen Stückpreis und EBITD ist positiv, oder ein Anstieg des Absatzes oder des Stückpreises führt zu einem Anstieg des EBITD. Variable Kosten und EBITD sind dagegen negativ korreliert, und durch die Verringerung der variablen Kosten werden wir das EBITD steigern.
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Beachten Sie, dass das Definieren der Unsicherheit eines Eingabewerts durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nicht der tatsächlichen entspricht, und das Abtasten daraus zu falschen Ergebnissen führt. Darüber hinaus ist die Annahme, dass die Eingabevariablen unabhängig sind, möglicherweise nicht gültig. Irreführende Ergebnisse können von Eingaben stammen, die sich gegenseitig ausschließen, oder wenn eine signifikante Korrelation zwischen zwei oder mehr Eingabeverteilungen festgestellt wird.
Die Quintessenz
Die MCS-Technik ist unkompliziert und flexibel. Es kann Unsicherheit und Risiko nicht auslöschen, aber es kann sie verständlicher machen, indem den Ein- und Ausgängen eines Modells probabilistische Merkmale zugeschrieben werden. Es kann sehr nützlich sein, um verschiedene Risiken und Faktoren zu bestimmen, die sich auf prognostizierte Variablen auswirken, und kann daher zu genaueren Vorhersagen führen. Beachten Sie auch, dass die Anzahl der Versuche nicht zu gering sein sollte, da dies möglicherweise nicht ausreicht, um das Modell zu simulieren, was zu einer Häufung von Werten führt.
