Grundlegendes zum binomialen Optionspreismodell

Aktienkurse bestimmen

Sich auf eine genaue Preisgestaltung für ein handelbares Asset zu einigen, ist eine Herausforderung - deshalb ändern sich die Aktienkurse ständig. In der Realität ändern Unternehmen ihre Bewertungen kaum von Tag zu Tag, aber ihre Aktienkurse und Bewertungen ändern sich fast jede Sekunde. Diese Schwierigkeit, einen Konsens über die korrekte Preisgestaltung für einen handelbaren Vermögenswert zu erzielen, führt zu kurzlebigen Arbitrage-Möglichkeiten.

Viele erfolgreiche Investitionen lassen sich jedoch auf eine einfache Frage der aktuellen Bewertung zurückführen: Was ist heute der richtige aktuelle Preis für eine erwartete zukünftige Auszahlung?

Bewertung von Binominaloptionen

In einem wettbewerbsorientierten Markt müssen Vermögenswerte mit identischen Auszahlungsstrukturen den gleichen Preis haben, um Arbitrage-Möglichkeiten zu vermeiden. Die Bewertung von Optionen war eine herausfordernde Aufgabe, und Preisunterschiede führen zu Arbitrage-Möglichkeiten. Black-Scholes bleibt eines der beliebtesten Modelle für Preisoptionen, hat jedoch Einschränkungen.

Das Binomial-Optionspreismodell ist eine weitere beliebte Methode für Preisoptionen.

Beispiele

Angenommen, es gibt eine Kaufoption für eine bestimmte Aktie mit einem aktuellen Marktpreis von 100 USD. Die Option at-the-money (ATM) hat einen Ausübungspreis von 100 USD mit einer Laufzeit von einem Jahr. Es gibt zwei Händler, Peter und Paula, die sich einig sind, dass der Aktienkurs in einem Jahr entweder auf 110 USD steigen oder auf 90 USD fallen wird.

Sie sind sich über das erwartete Preisniveau in einem bestimmten Zeitraum von einem Jahr einig, sind sich jedoch nicht einig über die Wahrscheinlichkeit einer Auf- oder Abwärtsbewegung. Peter glaubt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs auf 110 USD steigt, 60% beträgt, während Paula glaubt, dass er 40% beträgt.

Wer wäre bereit, auf dieser Grundlage mehr Geld für die Call-Option zu zahlen? Möglicherweise Peter, da er eine hohe Wahrscheinlichkeit für den Aufwärtstrend erwartet.

Binominal Options Berechnungen

Die beiden Vermögenswerte, von denen die Bewertung abhängt, sind die Kaufoption und die zugrunde liegende Aktie. Die Teilnehmer sind sich einig, dass der zugrunde liegende Aktienkurs innerhalb eines Jahres von derzeit 100 USD auf 110 USD oder 90 USD steigen kann und keine weiteren Kursbewegungen möglich sind.

Wenn Sie in einer Welt ohne Arbitrage ein Portfolio aus diesen beiden Vermögenswerten, Call-Option und zugrunde liegenden Aktien erstellen müssen, bleibt die Nettorendite des Portfolios immer gleich, unabhängig davon, wohin der zugrunde liegende Preis geht (110 USD oder 90 USD). Angenommen, Sie kaufen "d" -Aktien von Basiswerten und Short-One-Call-Optionen, um dieses Portfolio zu erstellen.

Wenn der Preis auf 110 US-Dollar steigt, sind Ihre Aktien 110 US-Dollar * wert, und Sie verlieren 10 US-Dollar bei der kurzfristigen Auszahlung. Der Nettowert Ihres Portfolios beträgt (110d - 10).

Wenn der Preis auf 90 USD sinkt, sind Ihre Aktien 90 USD wert und die Option verfällt wertlos. Der Nettowert Ihres Portfolios beträgt (90d).

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ wo: \\ h = Höchster potenzieller Basiswert \\ d = Anzahl der zugrunde liegenden Aktien \\ m = Kurzfristig verlorenes Geld \\ l = Niedrigster potenzieller Basiswert \end{matrix} \ begin {align} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {where:} \ & h = \ text {Höchstmöglicher Basiswert} \ & d = \ text {Anzahl der Basiswerte} \ & m = \ text {Geldverlust bei kurzfristiger Rückzahlung} \ & l = \ text {Niedrigster potenzieller Basiswert} \ \ end {ausgerichtet}$ H (d) - m = l (d) wobei: h = Höchster potenzieller Basiswert = Anzahl der zugrunde liegenden Aktien m = Geldverlust bei kurzfristigem Bezug payoffl = Niedrigster potenzieller Basiswert

Wenn Sie also eine halbe Aktie kaufen, vorausgesetzt, ein Teilkauf ist möglich, schaffen Sie es, ein Portfolio zu erstellen, dessen Wert in beiden möglichen Staaten innerhalb des vorgegebenen Zeitrahmens von einem Jahr gleich bleibt.

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {align} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {align}$ 110d - 10 = 90dd = 21

Dieser Portfoliowert, angegeben durch (90d) oder (110d - 10) = 45, ist ein Jahr später. Zur Berechnung des Barwerts kann er mit der risikofreien Rendite (unter Annahme von 5%) abgezinst werden.

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} Vorhandener Wert & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Jahr)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {align} text {Present Value} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Year})} \ & = 45 \ times 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ Ende$ Aktueller Wert = 90d × e (–5% × 1 Jahr) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Da das Portfolio derzeit aus ½ Anteil der zugrunde liegenden Aktie (mit einem Marktpreis von 100 USD) und einem Short Call besteht, sollte es dem Barwert entsprechen.

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Preis anrufen = $ 42.85 \\ Preis anrufen = $ 7.14, dh der Anrufpreis von heute \end{matrix} \ begin {align} & \ frac {1} {2} times 100 - 1 \ times \ text {Anrufpreis} = \ $ 42, 85 \\ & \ text {Anrufpreis} = \ $ 7, 14 \ text {, dh der Anrufpreis von heute$ 21 × 100−1 × Anrufpreis = 42, 85 USD Anrufpreis = 7, 14 USD, dh der Anrufpreis von heute

Da hierbei davon ausgegangen wird, dass der Portfoliowert unabhängig von der Richtung des zugrunde liegenden Kurses gleich bleibt, spielt die Wahrscheinlichkeit einer Aufwärts- oder Abwärtsbewegung keine Rolle. Das Portfolio bleibt unabhängig von den zugrunde liegenden Kursbewegungen risikofrei.

In beiden Fällen (von einem Anstieg auf 110 USD und einem Rückgang auf 90 USD ausgegangen) ist Ihr Portfolio risikoneutral und erzielt die risikofreie Rendite.

Daher wären beide Trader, Peter und Paula, bereit, für diese Call-Option dieselben 7, 14 USD zu zahlen, obwohl sie die Wahrscheinlichkeiten von Aufwärtsbewegungen unterschiedlich einschätzen (60% und 40%). Ihre individuell wahrgenommenen Wahrscheinlichkeiten spielen bei der Optionsbewertung keine Rolle.

Angenommen, stattdessen spielen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle, dann könnten sich Arbitrage-Möglichkeiten ergeben haben. In der realen Welt bestehen solche Arbitrage-Möglichkeiten mit geringen Preisunterschieden und verschwinden kurzfristig.

Aber wo ist die vielbeschworene Volatilität in all diesen Berechnungen ein wichtiger und sensibler Faktor, der die Optionspreise beeinflusst?

Die Volatilität ist bereits in der Art der Problemdefinition enthalten. Unter der Annahme von zwei (und nur zwei - daher der Name „binomial“) Zuständen des Preisniveaus (110 USD und 90 USD) ist die Volatilität in dieser Annahme implizit und wird automatisch berücksichtigt (in diesem Beispiel jeweils 10%).

Black-Scholes

Aber stimmt dieser Ansatz mit dem allgemein verwendeten Black-Scholes-Preis überein? Die Ergebnisse des Optionsrechners (mit freundlicher Genehmigung von OIC) stimmen eng mit dem berechneten Wert überein:

Leider ist die reale Welt nicht so einfach wie "nur zwei Staaten". Die Aktie kann vor dem Ablauf mehrere Kursniveaus erreichen.

Ist es möglich, alle diese mehreren Ebenen in ein Binomialpreismodell einzubeziehen, das auf nur zwei Ebenen beschränkt ist? Ja, das ist sehr gut möglich, aber um das zu verstehen, ist eine einfache Mathematik erforderlich.

Einfache Mathematik

So verallgemeinern Sie dieses Problem und diese Lösung:

"X" ist der aktuelle Marktpreis einer Aktie und "X * u" und "X * d" sind die zukünftigen Kurse für Auf- und Abbewegungen "t" Jahre später. Der Faktor "u" ist größer als Eins, da er eine Aufwärtsbewegung anzeigt und "d" zwischen Null und Eins liegt. Für das obige Beispiel ist u = 1, 1 und d = 0, 9.

Die Auszahlungen für Call-Optionen sind "P _up " und "P _dn " für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen zum Zeitpunkt des Ablaufs.

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} VUM = s \times X \times u - P_{oben} \\ wo: \\ VUM = Wert des Portfolios im Falle eines Aufwärtstrends \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VUM} = \ text {Wert des Portfolios im Falle eines Aufwärtstrends} \ \ end {align}$ VUM = s × X × u - Pup wobei: VUM = Wert des Portfolios im Falle einer Aufwärtsbewegung

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{Nieder} \\ wo: \\ VDM = Wert des Portfolios im Falle eines Abwärtstrends \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VDM} = \ text {Wert des Portfolios im Falle eines Abstiegs} \ \ end {align}$ VDM = s × X × d - Pdown wobei: VDM = Wert des Portfolios im Falle einer Abwärtsbewegung

Für ähnliche Bewertungen in beiden Fällen von Kursbewegungen:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $s \times X \times u - P_{oben} = s \times X \times d - P_{Nieder} s \ mal X \ mal u - P_ \ text {up} = s \ mal X \ mal d - P_ \ text {down}$ s × X × u - Pup = s × X × d - Pdown

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} s & = \frac{P_{oben} - P_{Nieder}}{X \times (u - d)} \\ = Die Anzahl der zu erwerbenden Aktien \\ ein risikofreies Portfolio \end{matrix} \ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {nach oben} - P_ \ text {nach unten}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {Die Anzahl der zu erwerbenden Aktien} \ & \ Phantom {=} Text {ein risikofreies Portfolio} \ \ Ende {ausgerichtet}$ s = X × (u - d) Pup - Pdown = Die Anzahl der zu erwerbenden Aktien für ein risikofreies Portfolio

Der zukünftige Wert des Portfolios am Ende von "t" Jahren wird sein:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} Im Falle einer Aufwärtsbewegung & = s \times X \times u - P_{oben} \\ = \frac{P_{oben} - P_{Nieder}}{u - d} \times u - P_{oben} \end{matrix} \ begin {align} text {Bei Aufwärtsbewegung} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {align}$ Im Falle von Up Move = s × X × u - Pup = u - dPup - Pdown × u - Pup

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} Im Falle einer Abwärtsbewegung & = s \times X \times d - P_{Nieder} \\ = \frac{P_{oben} - P_{Nieder}}{u - d} \times d - P_{Nieder} \end{matrix} \ begin {align} text {Bei Abwärtsbewegung} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {u - d} times d - P_ \ text {down} \ \ end {align}$ Im Fall von Down Move = s × X × d - Pdown = u - dPup - Pdown × d - Pdown

Der heutige Wert ergibt sich durch Abzinsung mit der risikofreien Rendite:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ wo: \\ PV = Gegenwartswert \\ r = Rendite \\ t = Zeit in Jahren \end{matrix} \ begin {align} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {PV} = \ text {Gegenwartswert} \ & r = \ Text {Rendite} \ & t = \ Text {Zeit in Jahren} \ \ Ende {ausgerichtet}$ PV = e (−rt) × wobei: PV = Present-Day Valuer = Retourenrate = Zeit in Jahren

Dies sollte mit dem Portfolio-Bestand von "s" -Aktien zum X-Kurs übereinstimmen, und der Short-Call-Wert "c" (der heutige Bestand von (s * X - c) sollte dieser Berechnung entsprechen.) Das Auflösen nach "c" ergibt ihn schließlich wie:

Hinweis: Wenn die Anrufprämie gekürzt wird, sollte dies eine Ergänzung des Portfolios sein, keine Subtraktion.

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ c = u - de (- rt) ×

Eine andere Möglichkeit, die Gleichung zu schreiben, besteht darin, sie neu anzuordnen:

"Q" nehmen als:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u - de (- rt) - d

Dann lautet die Gleichung:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $c = e (- r t) \times (q \times P_{oben} + (1 - q) \times P_{Nieder}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {hoch} + (1 - q) times P_ \ text {runter})$ c = e (- rt) × (q × Pup + (1 - q) × Pdown)

Die Neuordnung der Gleichung in Bezug auf „q“ bietet eine neue Perspektive.

Jetzt können Sie „q“ als die Wahrscheinlichkeit der Aufwärtsbewegung des Basiswerts interpretieren (da „q“ mit P _up und „1-q“ mit P _dn assoziiert ist). Insgesamt entspricht die Gleichung dem heutigen Optionspreis, dem abgezinsten Wert seiner Auszahlung bei Verfall.

Dieses "Q" ist anders

Inwiefern unterscheidet sich diese Wahrscheinlichkeit „q“ von der Wahrscheinlichkeit einer Aufwärts- oder Abwärtsbewegung des Basiswerts?

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ wo: \\ VSP = Wert des Aktienkurses zum Zeitpunkt t \end{matrix} \ begin {align} & \ text {VSP} = q \ times x \ times u + (1 - q) times x \ times d \\ & \ textbf {where:} \ & \ text {VSP} = \ Text {Wert des Aktienkurses zum Zeitpunkt} t \\ \ Ende {ausgerichtet}$ VSP = q × X × u + (1 - q) × X × dwhere: VSP = Wert des Aktienkurses zum Zeitpunkt t

Ersetzt man den Wert von "q" und ordnet sich neu, so ergibt sich zum Zeitpunkt "t" ein Aktienkurs von:

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} Standard Preis = e (r t) \times X \end{matrix} \ begin {align} & \ text {Aktienkurs} = e (rt) times X \\ \ end {align}$ Aktienkurs = e (rt) × X

In dieser angenommenen Zwei-Staaten-Welt steigt der Aktienkurs einfach um die risikofreie Rendite, genau wie ein risikofreier Vermögenswert, und bleibt daher unabhängig von jeglichem Risiko. Das Risiko ist den Anlegern im Rahmen dieses Modells gleichgültig, sodass dies das risikoneutrale Modell darstellt.

Die Wahrscheinlichkeiten „q“ und „(1-q)“ sind als risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten und die Bewertungsmethode als risikoneutrales Bewertungsmodell bekannt.

Das Beispielszenario hat eine wichtige Anforderung: Die zukünftige Auszahlungsstruktur muss präzise sein (Level 110 und 90). Im wirklichen Leben ist eine solche Klarheit über stufenbasierte Preisniveaus nicht möglich; Vielmehr bewegt sich der Preis nach dem Zufallsprinzip und kann sich auf mehreren Ebenen niederschlagen.

Um das Beispiel weiter zu erweitern, sei angenommen, dass zweistufige Preisniveaus möglich sind. Wir kennen die endgültigen Auszahlungen des zweiten Schritts und müssen die Option heute (im ersten Schritt) bewerten:

Rückwirkend kann die Zwischenbewertung des ersten Schritts (bei t = 1) unter Verwendung der endgültigen Auszahlungen im zweiten Schritt (t = 2) vorgenommen werden, und dann unter Verwendung dieser berechneten Bewertung des ersten Schritts (t = 1) die aktuelle Bewertung (t = 0) kann mit diesen Berechnungen erreicht werden.

Um einen Optionspreis bei Nummer zwei zu erhalten, werden Auszahlungen bei vier und fünf verwendet. Um die Preise für Nummer drei zu ermitteln, werden Auszahlungen bei fünf und sechs verwendet. Schließlich werden berechnete Auszahlungen bei zwei und drei verwendet, um die Preisgestaltung bei Nummer eins zu erhalten.

Beachten Sie, dass in diesem Beispiel für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen in beiden Schritten derselbe Faktor angenommen wird - u und d werden zusammengesetzt angewendet.

Ein Arbeitsbeispiel

Angenommen, eine Put-Option mit einem Ausübungspreis von 110 USD wird derzeit bei 100 USD gehandelt und läuft in einem Jahr aus. Die jährliche risikofreie Rate beträgt 5%. Der Preis wird voraussichtlich alle sechs Monate um 20% steigen und um 15% fallen.

Hier ist u = 1, 2 und d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

unter Verwendung der oben abgeleiteten Formel von

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u - de (- rt) - d

wir erhalten q = 0, 35802832

Wert der Put-Option bei Punkt 2, Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $\begin{matrix} p_{2} = e (- r t) \times (p \times P_{nach oben nach oben} + (1 - q) P_{updn}) \\ wo: \\ p = Preis der Put-Option \end{matrix} \ begin {align} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {where:} \ & p = \ text {Preis der Put-Option} \ \ end {ausgerichtet}$ P2 = e (- rt) × (p × Pupup + (1 - q) Pupdn) wobei: p = Preis der Put-Option

_{Unter der} Bedingung P _upup ist der Basiswert = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, was zu P _upup = Null führt

Bei P _updn Bedingung ist der Basiswert = 100 * 1, 2 * 0, 85 = $ 102, was zu P _updn = $ 8 führt

_{Unter der} Bedingung P _{dndn beträgt der} Basiswert = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, was zu P _dndn = 37, 75 USD führt

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

In ähnlicher Weise ist p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

Um die Umstellung zu erleichtern, müssen Sie $p_{1} = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (- rt) × (q × p2 + (1 - q) p3)

Und daher ist der Wert der Put-Option p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Ebenso können Sie mit Binomialmodellen die gesamte Optionsdauer aufteilen, um mehrere Schritte und Ebenen weiter zu verfeinern. Mithilfe von Computerprogrammen oder Tabellenkalkulationen können Sie schrittweise rückwärts arbeiten, um den aktuellen Wert der gewünschten Option zu erhalten.

Ein anderes Beispiel

Angenommen, eine europäische Put-Option mit einer Laufzeit von neun Monaten, einem Ausübungspreis von 12 USD und einem aktuellen Basiswert von 10 USD. Nehmen Sie für alle Perioden einen risikofreien Zinssatz von 5% an. Angenommen, der zugrunde liegende Kurs kann alle drei Monate um 20% nach oben oder unten steigen. Dies ergibt u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 und einen dreistufigen Binomialbaum.

Rot zeigt die zugrunde liegenden Kurse an, während Blau die Auszahlung von Put-Optionen anzeigt.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit "q" berechnet sich zu 0, 531446.

Unter Verwendung des obigen Wertes von "q" und der Auszahlungswerte bei t = neun Monaten werden die entsprechenden Werte bei t = sechs Monaten wie folgt berechnet:

Unter Verwendung dieser berechneten Werte bei t = 6 sind die Werte bei t = 3 und dann bei t = 0:

Dies ergibt den heutigen Wert einer Put-Option von 2, 18 USD, was ziemlich nahe an dem liegt, was Sie bei Berechnungen mit dem Black-Scholes-Modell finden würden (2, 30 USD).

Die Quintessenz

Obwohl die Verwendung von Computerprogrammen diese intensiven Berechnungen vereinfachen kann, bleibt die Vorhersage zukünftiger Preise eine wesentliche Einschränkung der Binomialmodelle für die Optionsbewertung. Je feiner die Zeitintervalle, desto schwieriger wird es, die Auszahlungen am Ende jeder Periode mit hoher Genauigkeit vorherzusagen.

Die Flexibilität, die zu verschiedenen Perioden zu erwartenden Änderungen zu berücksichtigen, ist jedoch ein Plus, das es für die Bewertung amerikanischer Optionen, einschließlich Frühausübungsbewertungen, geeignet macht.

Die mit dem Binomialmodell berechneten Werte stimmen gut mit den Werten überein, die mit anderen häufig verwendeten Modellen wie Black-Scholes berechnet wurden. Dies zeigt die Nützlichkeit und Genauigkeit von Binomialmodellen für die Optionspreisberechnung an. Binomial-Preismodelle können nach den Wünschen eines Händlers entwickelt werden und können als Alternative zu Black-Scholes eingesetzt werden.

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