Der Wert der finanziellen Vermögenswerte variiert täglich. Investoren benötigen einen Indikator, um diese Veränderungen zu quantifizieren, die oft schwer vorherzusagen sind. Angebot und Nachfrage sind die beiden Hauptfaktoren, die sich auf Änderungen der Vermögenspreise auswirken. Im Gegenzug spiegeln Preisbewegungen eine Schwankungsbreite wider, die zu proportionalen Gewinnen und Verlusten führt. Aus Anlegersicht wird die Unsicherheit in Bezug auf solche Einflüsse und Schwankungen als Risiko bezeichnet.
Der Preis einer Option hängt von ihrer zugrunde liegenden Fähigkeit ab, sich zu bewegen, oder mit anderen Worten von ihrer Fähigkeit, volatil zu sein. Je wahrscheinlicher ein Umzug ist, desto teurer wird die Prämie, die dem Verfall näher kommt. Die Berechnung der Volatilität eines zugrunde liegenden Vermögenswerts hilft den Anlegern somit, Derivate zu bewerten, die auf diesem Vermögenswert basieren.
Messung der Variation des Assets
Eine Möglichkeit, die Variation eines Vermögenswerts zu messen, besteht darin, die täglichen Erträge (prozentuale Veränderung auf täglicher Basis) des Vermögenswerts zu quantifizieren. Dies bringt uns zur Definition und zum Konzept der historischen Volatilität. Die historische Volatilität basiert auf historischen Preisen und gibt den Grad der Variabilität der Renditen eines Vermögenswerts an. Diese Zahl ist ohne Einheit und wird in Prozent angegeben. (Weitere Informationen finden Sie unter " Was Volatilität wirklich bedeutet ".)
Berechnung der historischen Volatilität
Wenn wir P (t) den Preis eines finanziellen Vermögenswerts (Devisenvermögenswert, Aktien, Devisenpaar usw.) zum Zeitpunkt t und P (t-1) den Preis des finanziellen Vermögenswerts zum Zeitpunkt t-1 nennen, definieren wir den tägliche Rendite r (t) des Vermögenswerts zum Zeitpunkt t durch:
r (t) = ln (P (t) / P (t - 1)) mit Ln (x) = natürliche Logarithmusfunktion.
Die Gesamtrendite R zum Zeitpunkt t beträgt:
R = r1 + r2 + r3 + 2 +… + rt-1 + rt, was äquivalent ist zu:
R = Ln (P1 / P0) +… Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
Wir haben folgende Gleichheit:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b)
Das gibt also:
R = Ln
R = Ln
Und nach der Vereinfachung haben wir R = Ln (Pt / P0).
Die Rendite wird in der Regel als Differenz der relativen Preisänderungen berechnet. Dies bedeutet, dass wenn ein Vermögenswert zum Zeitpunkt t einen Preis von P (t) und zum Zeitpunkt t + h> t einen Preis von P (t) hat, die Rendite (r):
r = (P (t + t) - P (t)) / P (t) = - 1
Wenn die Rendite gering ist, wie zum Beispiel nur ein paar Prozent, haben wir:
r ≈ Ln (1 + r)
Wir können r durch den Logarithmus des aktuellen Preises ersetzen, da:
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + (- 1))
r ≤ Ln (P (t + h) / P (t))
Beispielsweise genügt es, aus einer Reihe von Schlusskursen den Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Kurse zu nehmen, um die täglichen Renditen r (t) zu berechnen.
Somit kann man auch die Gesamtrendite R berechnen, indem man nur den Anfangs- und den Endpreis verwendet.
Annualisierte Volatilität
Um die unterschiedlichen Volatilitäten über einen Zeitraum von einem Jahr vollständig zu erfassen, multiplizieren wir diese Volatilität mit einem Faktor, der die Variabilität der Vermögenswerte für ein Jahr berücksichtigt.
Dazu verwenden wir die Varianz. Die Varianz ist das Quadrat der Abweichung von der durchschnittlichen Tagesrendite für einen Tag.
Um die quadratische Anzahl der Abweichungen von den durchschnittlichen Tagesrenditen für 365 Tage zu berechnen, multiplizieren wir die Varianz mit der Anzahl der Tage (365). Die annualisierte Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel des Ergebnisses:
Varianz = σ²täglich =
Für die annualisierte Varianz erhalten wir, wenn wir annehmen, dass das Jahr 365 Tage beträgt und jeder Tag die gleiche tägliche Varianz hat, σ²täglich:
Annualisierte Varianz = 365. σ²täglich
Annualisierte Varianz = 365.
Schließlich wird die Volatilität als die Quadratwurzel der Varianz definiert:
Volatilität = √ (Varianz annualisiert)
Volatilität = √ (365. Σ²täglich)
Volatilität = √ (365.)
Simulation
Die Daten
Wir simulieren mit der Excel-Funktion = RANDBETWEEN einen Aktienkurs, der täglich zwischen 94 und 104 schwankt.
Berechnung der täglichen Rendite
In Spalte E geben wir "Ln (P (t) / P (t-1))" ein.
Berechnung des Quadrat der täglichen Renditen
In Spalte G geben wir "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2" ein.
Berechnung der täglichen Varianz
Um die Varianz zu berechnen, nehmen wir die Summe der erhaltenen Quadrate und dividieren durch (Anzahl der Tage -1). So:
- In Zelle F25 haben wir "= Summe (F6: F19)".
- In Zelle F26 berechnen wir "= F25 / 18", da wir für diese Berechnung 19 -1 Datenpunkte haben.
Berechnung der täglichen Standardabweichung
Um die Standardabweichung täglich zu berechnen, berechnen wir die Quadratwurzel der täglichen Varianz. So:
- In Zelle F28 berechnen wir "= Square.Root (F26)".
- In Zelle G29 wird Zelle F28 als Prozentsatz angezeigt.
Berechnung der annualisierten Varianz
Um die annualisierte Varianz aus der täglichen Varianz zu berechnen, nehmen wir an, dass jeder Tag dieselbe Varianz aufweist, und multiplizieren die tägliche Varianz mit 365, wobei die Wochenenden eingeschlossen sind. So:
- In Zelle F30 haben wir "= F26 * 365".
Berechnung der annualisierten Standardabweichung
Um die annualisierte Standardabweichung zu berechnen, müssen wir nur die Quadratwurzel der annualisierten Varianz berechnen. So:
- In Zelle F32 haben wir "= ROOT (F30)".
- In Zelle G33 wird Zelle F32 als Prozentsatz angezeigt.
Diese Quadratwurzel der annualisierten Varianz gibt uns die historische Volatilität.
