Was ist eine T-Verteilung?
Die T-Verteilung, auch als Student-T-Verteilung bezeichnet, ist eine Art Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der normalen Verteilung mit ihrer Glockenform ähnelt, jedoch schwerere Schwänze aufweist. T-Verteilungen haben eine größere Wahrscheinlichkeit für Extremwerte als Normalverteilungen, daher die dickeren Schwänze.
Die zentralen Thesen
- Die T-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung des z-Scores, wenn die geschätzte Standardabweichung im Nenner und nicht die wahre Standardabweichung verwendet wird. Die T-Verteilung ist wie die Normalverteilung glockenförmig und symmetrisch, aber schwerer Schwänze, was bedeutet, dass es dazu neigt, Werte zu produzieren, die weit vom Mittelwert abweichen. T-Tests werden in der Statistik verwendet, um die Signifikanz abzuschätzen.
Was sagt Ihnen eine T-Distribution?
Die Schwere des Schwanzes wird durch einen Parameter der T-Verteilung bestimmt, der Freiheitsgrade genannt wird, wobei kleinere Werte schwerere Schwänze ergeben und höhere Werte bewirken, dass die T-Verteilung einer Standardnormalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 ähnelt Die T-Verteilung wird auch als "Student's T Distribution" bezeichnet.
Die blaue Region zeigt einen zweiseitigen Hypothesentest. CKTaylor
Wenn eine Stichprobe von n Beobachtungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit dem Mittelwert M und der Standardabweichung D entnommen wird, weichen der Stichprobenmittelwert m und die Stichprobenstandardabweichung d aufgrund der Zufälligkeit der Stichprobe von M und D ab.
Ein z-Score kann mit der Populationsstandardabweichung als Z = (m - M) / {D / sqrt (n)} berechnet werden, und dieser Wert hat die Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1. Aber wenn diese z- Die Punktzahl wird unter Verwendung der geschätzten Standardabweichung berechnet, die T = (m - M) / {d / sqrt (n)} ergibt. Der Unterschied zwischen d und D macht die Verteilung zu einer T-Verteilung mit (n - 1) Freiheitsgraden anstatt die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.
Beispiel für die Verwendung einer T-Verteilung
Das folgende Beispiel zeigt, wie T-Verteilungen in der statistischen Analyse verwendet werden. Denken Sie zunächst daran, dass ein Konfidenzintervall für den Mittelwert ein Wertebereich ist, der aus den Daten berechnet wird und einen Mittelwert für die „Grundgesamtheit“ erfasst. Dieses Intervall ist m + - t * d / sqrt (n), wobei t ein kritischer Wert aus der T-Verteilung ist.
Beispielsweise beträgt ein Konfidenzintervall von 95% für die durchschnittliche Rendite des Dow Jones Industrial Average in den 27 Handelstagen vor dem 11. September 2001 -0, 33% (+/- 2, 055) * 1, 07 / Quadratmeter (27). Geben einer (dauerhaften) Durchschnittsrendite als eine Zahl zwischen -0, 75% und +0, 09%. Die Zahl 2.055, die Anzahl der zu korrigierenden Standardfehler, ergibt sich aus der T-Verteilung.
Da die T-Verteilung dickere Schwänze aufweist als eine Normalverteilung, kann sie als Modell für finanzielle Renditen verwendet werden, die eine übermäßige Kurtosis aufweisen, was in solchen Fällen eine realistischere Berechnung des Value at Risk (VaR) ermöglicht.
Der Unterschied zwischen einer T-Verteilung und einer Normalverteilung
Normalverteilungen werden verwendet, wenn angenommen wird, dass die Populationsverteilung normal ist. Die T-Verteilung ähnelt der Normalverteilung, nur mit dickeren Schwänzen. Beide gehen von einer normalverteilten Bevölkerung aus. T-Verteilungen haben eine höhere Kurtosis als Normalverteilungen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Werte sehr weit vom Mittelwert entfernt sind, ist bei einer T-Verteilung größer als bei einer Normalverteilung.
Einschränkungen bei der Verwendung einer T-Verteilung
Die T-Verteilung kann die Genauigkeit relativ zur Normalverteilung verzerren. Das Manko entsteht nur, wenn es um vollkommene Normalität geht. Der Unterschied zwischen einer Normal- und einer T-Verteilung ist jedoch relativ gering.
