Inhaltsverzeichnis
- Binomial Option Pricing
- Grundlagen des Binomial Pricing
- Berechnung mit dem Binomialmodell
- Beispiel aus der realen Welt
Was ist das Binomial-Optionspreismodell?
Das binomiale Optionspreismodell ist eine 1979 entwickelte Methode zur Optionsbewertung. Das binomiale Optionspreismodell verwendet ein iteratives Verfahren, das die Angabe von Knoten oder Zeitpunkten während der Zeitspanne zwischen dem Bewertungsdatum und dem Ablaufdatum der Option ermöglicht.
Die zentralen Thesen
- Das Binomial-Optionspreismodell bewertet Optionen unter Verwendung eines iterativen Ansatzes unter Verwendung mehrerer Perioden, um amerikanische Optionen zu bewerten. Mit dem Modell gibt es zwei mögliche Ergebnisse mit jeder Iteration - eine Aufwärts- oder eine Abwärtsbewegung, die einem Binomialbaum folgt. Das Modell ist intuitiv und wird in der Praxis häufiger eingesetzt als das bekannte Black-Scholes-Modell.
Das Modell reduziert die Möglichkeit von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit von Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum könnte etwa so aussehen:
Grundlagen des Binomial-Optionspreismodells
Bei binomialen Optionspreismodellen wird davon ausgegangen, dass es zwei mögliche Ergebnisse gibt, daher der binomiale Teil des Modells. Bei einem Preismodell sind die beiden Ergebnisse eine Aufwärtsbewegung oder eine Abwärtsbewegung. Der Hauptvorteil eines binomialen Optionspreismodells besteht darin, dass es mathematisch einfach ist. Diese Modelle können jedoch in einem Mehrperiodenmodell komplex werden.
Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis auf der Grundlage von Eingaben liefert, ermöglicht das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und die Option für mehrere Perioden zusammen mit dem Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).
Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Änderung des Vermögenswertpreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen bewerten kann, die zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen wurden. Für eine in den USA ansässige Option, die jederzeit vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden kann, kann das Binomialmodell Aufschluss darüber geben, wann die Option ausgeübt werden sollte und wann sie über einen längeren Zeitraum gehalten werden sollte. Durch Betrachten des Binomialbaums von Werten kann ein Händler im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über eine Übung erfolgen kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, besteht die Möglichkeit einer Ausübung. Wenn die Option einen Wert von weniger als Null hat, sollte sie länger gehalten werden.
Preisberechnung mit dem Binomialmodell
Die grundlegende Methode zur Berechnung des Binomialoptionsmodells besteht darin, in jedem Zeitraum die gleiche Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg zu verwenden, bis die Option verfällt. Ein Händler kann jedoch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für jeden Zeitraum basierend auf neuen Informationen, die im Laufe der Zeit erhalten werden, berücksichtigen.
Ein Binomialbaum ist ein nützliches Werkzeug, wenn amerikanische Optionen und eingebettete Optionen bewertet werden. Ihre Einfachheit ist ihr Vor- und Nachteil zugleich. Der Baum kann leicht mechanisch modelliert werden, das Problem liegt jedoch in den möglichen Werten, die der zugrunde liegende Vermögenswert in einem bestimmten Zeitraum annehmen kann. In einem Binomialbaummodell kann das zugrunde liegende Asset nur genau einen von zwei möglichen Werten aufweisen, was nicht realistisch ist, da Assets eine beliebige Anzahl von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs aufweisen können.
Beispielsweise besteht eine 50/50-Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einem Zeitraum um 30 Prozent steigt oder fällt. Für den zweiten Zeitraum kann die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts erhöht, jedoch auf 70/30 steigen.
Wenn ein Investor beispielsweise eine Ölquelle bewertet, ist sich dieser Investor nicht sicher, wie hoch der Wert dieser Ölquelle ist, aber es besteht eine 50/50 Chance, dass der Preis steigen wird. Wenn der Ölpreis in Periode 1 ansteigt und die Ölquelle wertvoller wird und die Marktgrundlagen nun auf einen anhaltenden Anstieg des Ölpreises hindeuten, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Aufwertung des Ölpreises nun bei 70 Prozent liegen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität; das Black-Scholes-Modell nicht.
Reales Beispiel für ein binomiales Optionspreismodell
Ein vereinfachtes Beispiel eines Binomialbaums hat nur einen Schritt. Angenommen, es gibt eine Aktie mit einem Preis von 100 USD pro Aktie. In einem Monat wird der Kurs dieser Aktie um 10 USD steigen oder um 10 USD fallen, wodurch folgende Situation entsteht:
- Aktienkurs = 100 USD Aktienkurs in einem Monat (aufwärts) = 110 USD Aktienkurs in einem Monat (abwärts) = 90 USD
Angenommen, für diese Aktie ist eine Call-Option verfügbar, die innerhalb eines Monats abläuft und einen Ausübungspreis von 100 USD hat. Im Aufwärtszustand ist diese Anrufoption 10 USD wert, und im Abwärtszustand ist sie 0 USD wert. Das Binomialmodell kann berechnen, wie hoch der Preis der Call-Option heute sein sollte.
Nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass ein Anleger die Hälfte der Aktien kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die Gesamtinvestition heute ist der Preis einer halben Aktie abzüglich des Optionspreises, und die möglichen Auszahlungen am Monatsende sind:
- Kosten heute = 50 USD - Optionspreis Portfolio-Wert (aufwärts) = 55 USD - maximal (110 USD - 100 USD, 0 USD) = 45 USD Portfolio-Wert (abwärts) = 45 USD - maximal (90 USD - 100 USD, 0 USD) = 45 USD
Die Auszahlung des Portfolios ist gleich, egal wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses sollte ein Anleger unter der Annahme, dass keine Arbitrage-Möglichkeiten bestehen, den risikofreien Zinssatz im Laufe des Monats verdienen. Die heutigen Kosten müssen der Auszahlung entsprechen, die mit dem risikofreien Satz für einen Monat abgezinst wird. Die zu lösende Gleichung lautet also:
- Optionspreis = $ 50 - $ 45 xe ^ (-risikofreier Kurs x T), wobei e die mathematische Konstante 2.7183 ist.
Unter der Annahme, dass der risikofreie Zinssatz 3% pro Jahr beträgt und T 0, 0833 (einer geteilt durch 12), beträgt der Preis der Call-Option heute 5, 11 USD.
Aufgrund seiner einfachen und iterativen Struktur bietet das binomische Optionspreismodell einige einzigartige Vorteile. Da es beispielsweise einen Strom von Bewertungen für ein Derivat für jeden Knoten in einer Zeitspanne bereitstellt, ist es nützlich, um Derivate wie amerikanische Optionen zu bewerten, die jederzeit zwischen dem Kaufdatum und dem Ablaufdatum ausgeführt werden können. Es ist auch viel einfacher als andere Preismodelle wie das Black-Scholes-Modell.
