Carl Friedrich Gauß war ein Wunderkind und ein brillanter Mathematiker, der im frühen 19. Jahrhundert lebte. Zu Gauß 'Beiträgen gehörten quadratische Gleichungen, die Analyse der kleinsten Quadrate und die Normalverteilung. Obwohl die Normalverteilung bereits Mitte des 18. Jahrhunderts aus den Schriften von Abraham de Moivre bekannt war, wird der Entdeckung häufig Gauß zugeschrieben, und die Normalverteilung wird häufig als Gaußsche Verteilung bezeichnet. Ein Großteil der statistischen Untersuchungen stammte von Gauß, und seine Modelle werden unter anderem auf Finanzmärkte, Preise und Wahrscheinlichkeiten angewendet.
Die moderne Terminologie definiert die Normalverteilung als die Glockenkurve mit Mittelwert- und Varianzparametern. Dieser Artikel erklärt die Glockenkurve und wendet sie auf den Handel an.
Messzentrum: Mittelwert, Median und Modus
Verteilungen können durch ihren Mittelwert, Median und Modus charakterisiert werden. Der Mittelwert ergibt sich aus der Addition aller Punkte und der Division durch die Anzahl der Punkte. Der Median wird erhalten, indem die zwei mittleren Zahlen einer geordneten Stichprobe addiert und durch zwei dividiert werden (im Falle einer geraden Anzahl von Datenwerten) oder einfach nur der mittlere Wert genommen wird (im Falle einer ungeraden Anzahl von Datenwerten). Der Modus ist die häufigste der Zahlen in einer Werteverteilung. Jede dieser drei Zahlen misst das Zentrum einer Verteilung. Für die Normalverteilung ist jedoch der Mittelwert das bevorzugte Maß.
Dispersionsmessung: Standardabweichung und Varianz
Wenn die Werte einer normalen (Gaußschen) Verteilung folgen, liegen 68 Prozent aller Bewertungen innerhalb von -1 und +1 Standardabweichungen (des Mittelwerts), 95 Prozent innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99, 7 Prozent innerhalb von drei Standardabweichungen.
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die die Ausbreitung einer Verteilung misst. (Weitere Informationen zur statistischen Analyse finden Sie unter Grundlegendes zu Volatilitätsmessungen .)
Anwendung des Gaußschen Modells auf den Handel
Die Standardabweichung misst die Volatilität und bestimmt, mit welcher Renditeleistung gerechnet werden kann. Kleinere Standardabweichungen bedeuten weniger Risiko für eine Investition, während höhere Standardabweichungen ein höheres Risiko bedeuten. Händler können Schlusskurse als Differenz zum Mittelwert messen. Ein größerer Unterschied zwischen dem tatsächlichen Wert und dem Mittelwert deutet auf eine höhere Standardabweichung und damit auf eine höhere Volatilität hin.
Preise, die weit vom Mittelwert abweichen, werden möglicherweise wieder auf den Mittelwert zurückgesetzt, sodass Händler diese Situationen ausnutzen können, und Preise, die in einem kleinen Bereich gehandelt werden, könnten zu einem Ausbruch bereit sein. Der häufig verwendete technische Indikator für Standardabweichungsgeschäfte ist das Bollinger Band®, da es ein Maß für die Volatilität ist, das auf zwei Standardabweichungen für obere und untere Bänder mit einem 21-tägigen gleitenden Durchschnitt festgelegt ist.
Die Gaußsche Verteilung markiert den Beginn eines Verständnisses der Marktwahrscheinlichkeiten. Es führte später zu Zeitreihen, Garch Models und weiteren Anwendungen von Skew wie dem Volatility Smile.
Skew und Kurtosis
Die Daten folgen normalerweise nicht dem genauen Glockenkurvenmuster der Normalverteilung. Schiefe und Kurtosis sind ein Maß dafür, wie Daten von diesem idealen Muster abweichen. Die Schiefe misst die Asymmetrie der Schwänze der Verteilung: Eine positive Schiefe weist Daten auf, die auf der hohen Seite des Mittelwerts weiter abweichen als auf der niedrigen Seite. Das Gegenteil gilt für den negativen Versatz. (Weitere Informationen finden Sie unter Börsenrisiko: Mit dem Schwanz wedeln .)
Während sich die Schiefe auf das Ungleichgewicht der Schwänze bezieht, befasst sich die Kurtosis mit dem Ende der Schwänze, unabhängig davon, ob sie über oder unter dem Mittelwert liegen. Eine leptokurtische Verteilung weist eine positive überschüssige Kurtosis auf und weist Datenwerte auf, die (in jedem Schwanz) extremer sind als durch die Normalverteilung vorhergesagt (z. B. fünf oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert). Eine negative überschüssige Kurtosis, die als Platykurtosis bezeichnet wird, ist durch eine Verteilung mit Extremwertcharakter gekennzeichnet, die weniger extrem ist als die der Normalverteilung.
Als Anwendung von Skewness und Kurtosis erfordert die Analyse von festverzinslichen Wertpapieren eine sorgfältige statistische Analyse, um die Volatilität eines Portfolios bei Zinsschwankungen zu bestimmen. Modelle, die die Richtung der Bewegungen vorhersagen, müssen Schiefe und Kurtosis berücksichtigen, um die Wertentwicklung eines Anleihenportfolios vorhersagen zu können. Diese statistischen Konzepte können ferner zur Bestimmung von Preisbewegungen für viele andere Finanzinstrumente wie Aktien, Optionen und Währungspaare verwendet werden. Skewness-Koeffizienten werden verwendet, um Optionspreise durch Messung der impliziten Volatilität zu messen.
