Was ist Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen einen von zwei unabhängigen Werten annimmt. Die zugrunde liegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es für jeden Versuch nur ein Ergebnis gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass jeder Versuch sich gegenseitig ausschließt oder voneinander unabhängig ist.
Die Binomialverteilung ist eine übliche diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung. Dies liegt daran, dass die Binomialverteilung nur zwei Zustände zählt, die bei einer Reihe von Versuchen in den Daten normalerweise als 1 (für einen Erfolg) oder 0 (für einen Fehler) dargestellt werden. Die Binomialverteilung repräsentiert daher die Wahrscheinlichkeit für x Erfolge in n Versuchen bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch.
Die Binomialverteilung wird in der sozialwissenschaftlichen Statistik häufig als Baustein für Modelle für dichotome Ergebnisvariablen verwendet, z. B. ob ein Republikaner oder Demokrat eine bevorstehende Wahl gewinnt, ob eine Person innerhalb eines bestimmten Zeitraums stirbt usw.
Grundlegendes zur Binomialverteilung
Die Binomialverteilung fasst die Anzahl der Versuche oder Beobachtungen zusammen, wenn jeder Versuch die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, einen bestimmten Wert zu erreichen. Die Binomialverteilung bestimmt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl erfolgreicher Ergebnisse in einer bestimmten Anzahl von Versuchen zu beobachten.
Der erwartete Wert oder Mittelwert einer Binomialverteilung wird berechnet, indem die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit multipliziert wird. Beispielsweise beträgt der erwartete Wert der Anzahl der Köpfe in 100 Versuchen 50 oder (100 * 0, 5). Ein weiteres häufiges Beispiel für die Binomialverteilung ist die Schätzung der Erfolgschancen eines Freiwurfschützen im Basketball, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschuss ist.
Der Mittelwert der Binomialverteilung ist np und die Varianz der Binomialverteilung ist np (1 - p). Wenn p = 0, 5 ist, ist die Verteilung um den Mittelwert symmetrisch. Wenn p> 0, 5 ist, ist die Verteilung nach links verschoben. Wenn p <0, 5 ist, ist die Verteilung nach rechts verschoben.
Die Binomialverteilung ist die Summe mehrerer unabhängiger und identisch verteilter Bernoulli-Versuche. In einem Bernoulli-Versuch soll das Experiment zufällig sein und nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg. Zum Beispiel wird das Werfen einer Münze als Bernoulli-Versuch angesehen. Jeder Versuch kann nur einen von zwei Werten annehmen (Kopf oder Zahl), jeder Erfolg hat die gleiche Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf umzudrehen, beträgt 0, 5), und die Ergebnisse eines Versuchs haben keinen Einfluss auf die Ergebnisse eines anderen. Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Versuche n = 1 ist.
Beispiel für die Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wird berechnet, indem die Erfolgswahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Erfolge und die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns mit der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der Versuche multipliziert wird. Dann multiplizieren Sie das Produkt mit der Kombination aus Anzahl der Versuche und Anzahl der Erfolge.
Angenommen, ein Casino hat ein neues Spiel erstellt, in dem die Teilnehmer in einer festgelegten Anzahl von Münzwürfen Wetten auf die Anzahl der Köpfe oder Zahl setzen können. Angenommen, ein Teilnehmer möchte eine Wette über 10 $ platzieren, dass es genau sechs Köpfe in 20 Münzwürfen geben würde. Der Teilnehmer möchte die Eintrittswahrscheinlichkeit berechnen und verwendet daher die Berechnung für die Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit wurde berechnet als: (20! / (6! * (20 - 6))) * (0, 50) ^ (6) * (1 - 0, 50) ^ (20 - 6). Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Münzwürfen genau sechs Köpfe auftreten, 0, 037 oder 3, 7%. Der erwartete Wert betrug in diesem Fall 10 Köpfe, sodass der Teilnehmer eine schlechte Wette abgab.
Die zentralen Thesen
- Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen einen von zwei unabhängigen Werten annimmt. Die zugrunde liegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es für jeden Versuch nur ein Ergebnis gibt, nämlich für jeden Versuch hat die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit und dass sich jeder Versuch gegenseitig ausschließt oder voneinander unabhängig ist. Die Binomialverteilung ist eine gemeinsame diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung.
